МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Кафедра автоматизованих систем управління
Лабораторна робота №1 з дисципліни “Моделювання систем” на тему «ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСАМИ З ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДУ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ» Мета роботи: вивчення і застосування методу лінійного програмування для рішення задач оптимального керування, у яких цільова функція, модель процесу й обмеження є лінійними функціями. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ Лінійне програмування - розділ математичного програмування, що вивчає задачу знаходження максимуму (мінімуму) лінійної функції при лінійних обмеженнях у виді рівностей або нерівностей. Загальна задача лінійного програмування формулюється так: потрібно знайти максимум лінійної функції n змінних х1,х2, ... ,хn
/1/ при обмеженнях
, i=1,2,…,m /2/
, j=1,2,…,n. /3/ де G - цільова функція, kj (j=1,…,n). aij (i=1,…,n; j=1,…,n), bi (i=1,…,m) - задане число. Задача мінімізації цільової функції /1/ зводиться до задачі максимізації шляхом заміни знаків усіх коефіцієнтів kj, на протилежні. Найбільше поширеним прикладом задачі лінійного програмування є задача планування роботи підприємства, що випускає деякий однорідний продукт. Ця задача ставиться наступним чином: є n різноманітних технологій і m ресурсів (робоча сила, сировина, енергія, транспорт і т.д.) виробництва. Відомі: kj - кількість одиниць продукту, що можна одержати при використанні j-ї технології в одиницю часу (j=1,...n), аij - виграти і-го ресурсу при використанні j-ї технології (і=1,...,m); (j=1,...,n), bi - загальний запас і-го ресурсу (і=1,...,m), хj - час, протягом якого виробництво ведеться по j-й технології. Потрібно відшукати план Х=(x1, x2,..., хn), при якому з наявних запасів випускалася б максимальна кількість продукту, тобто G=>тах. Призначення моделей фізичних процесів при рішенні питання оптимізації складається у встановленні зв'язків між змінними стану і змінними керування, причому оптимізується завжди цільова функція, а не модель процесу. Цільова функція і обмеження звичайно є функціями як змінних стану, так і змінних керування. Визначення цільової функції і перебування її екстремального значення є суттю проблеми оптимізації. На відміну від моделей фізичних процесів цільові функції звичайно виражають нефізичні величини, наприклад, прибуток, вартість, якість і т.п. У найпростішому випадку цільова функція, модель фізичного процесу й обмеження є лінійними функціями. Оптимальне керування в задачах такого роду може бути знайдене за допомогою методу лінійного програмування. Розглянемо лінійну цільову функцію з одною змінною і одною змінною стану: F(у,х)=А+Вх+Су, /4/ де Х - змінна керування, у - змінна стану. Нехай при цьому лінійна модель фізичного процесу виражається як у=D+Ех, /5/ де А, В, С,D, Е - задані числа. Підставивши /5/ в /4/, одержимо цільову функцію, що залежить тільки від змінної керування G(х)=А+Вх+СD+СEх /6/ або G(х)=К0+К1X, /7/ де К0=А+СD; К1=В+СЕ. Лінійні цільові функції при відсутності обмеженні не мають кінцевого оптимуму. Тому в задачах оптимізації цільової функції обмеження грають принципову роль. Оптимальне керування з лінійною цільовою функцією при наявності лінійних обмежень можна уявити як задачу оптимізації функції
/8/ при обмеженнях
; j=1,…,n /9/
; j=1,…,n /10/ де Rін і Rjb - нижня і верхня границі обмеження j-ї змінної керування; Qін, Qib ocі - нижня і верхня границі і-го обмеження на змінні стану, виражені у вигляді залежності між змінними керування; Kij - позитивна константа. Нижня межа змінної керування, як правило, дорівнює нулю, а верхня границя є її фізичною границею (наприклад, цілком відкритий клапан). Обмеження, що накладаються на межі зміни змінних керування, можна висловити у виді рівностей за допомогою введення позитивних допоміжних змінних: Xj+Zj=Кjb; Хj-2j=Кjн. Розмір Хj знаходиться на границі обмежень, коли Zjb=0 або Zjн=0. Нері...